1．2．1任意角的三角函数

一、创设情境

请问这是什么？（摩天轮）

今天，我们的数学之旅就从摩天轮开始。先来说说摩天轮吧。我们假设它的中心离地面的高度为h₀，它的直径为2r，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，（那转动一秒转了多少度？）若现在你坐在座舱中，从初始位置出发（如图所示），过了30秒后，你离地面的高度为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？过了150秒呢？ t=210秒，330秒，390秒呢？

二、建模

当时间为t秒时，人距离地面的高度用模型：h＝h₀＋rsint⁰来表示。

sin210⁰的绝对值等于边之比 ，符号为负。

sin330⁰的绝对值等于边之比 ，符号也为负。

若摩天轮再次转到区域一，则它的高度又可以如何定义？第二区域呢？第三、第四区域呢？

三、正弦定义

师：非常好，我们已经总结了在某些范围内如计算自己此时离地面的高度，用了数学模型：h＝h₀＋rsint⁰来表示，正如我们坐在摩天轮里随着它的转动，角度的概念也不知不觉地推广了任意角。对任意角的正弦的定义，看来不能再只是依赖于角所在的直角三角形中角的对边长度比斜边长度了，你能根据这些特点（主要指红笔所写的内容），寻找一个适当的量来代替MP或－MP，使得sina＝ ，这个量的绝对值与MP相等，符号在一、二区域能是正的，在三、四区域能是负的。

师：好的 ，大家在坐标系中找到了一个适当的量：点P的纵坐标y来替代MP或－MP，那么，在坐标系中，正弦函数可以怎么定义呢？

引入坐标系，用 来定义正弦。

问：改变角a终边上点P的位置，会不会改变 的大小?那么怎样定义会使得比值更加简洁？

小结：正弦函数的定义以上两种方式都是等价的，都是表示点P的纵坐标与 的比值。只是在单位圆的背景下， ＝1，从形式上看更简洁。我们教科书上就选用了单位圆背景下的定义方式。

四、从函数角度解析三角函数。

问：对于每个确定的角a，都有唯一确定的y和它对应，所以它们之间是函数关系。你能从映射角度解析正弦函数关系吗？函数的定义域、值域是什么？

问：类比正弦函数的定义，你能给出余弦函数的定义吗？正切的定义呢？

你能从函数角度解析余弦、正切函数吗？

它们的定义域、值域分别是什么？

正弦、余弦、正切函数都是以终边上的点P（x，y）的横坐标、纵坐标、 的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数。 在物理的弹簧振子的振动中，潮涨潮落的现象的刻画中，都跟上面的正弦函数、余弦函数有关。云朝朝朝朝朝朝朝朝散，潮长长长长长长长长消yun， zhao chao， zhao zhao chao ，zhao chao zhao san；chao，chang zhang， chang chang zhang， chang zhang chang xiao

五、例题分析

现在大家对任意角的三角函数的定义已经有所了解了，下面我们来试试，角a＝ 、 时，它的三角函数值各是多少？

问：看来同学很聪明，只要求得除了求角a的终边与单位圆的交点，就能解决问题，那么，除了角的大小能决定终边位置外，还有什么条件能确定终边的位置？那么，我给出一个角a的终边上一点P的坐标（ b，－b），b 0，则它的三角函数值又是多少？

师：看来三角函数的角的终边所在象限的不同，（如摩天轮）它的三角函数值的符号也不同，请你说说三角函数在各个象限内的三角函数值的符号。

六、小结：这节课我们从摩天轮的转动中得到了一些数学问题的思考，对任意角的三角函数作出了定义。