难点28  守恒思想在物理解题中的应用

在物理变化的过程中，常存在着某些不变的关系或不变的量，在讨论一个物理变化过程时，对其中的各个量或量的变化关系进行分析，寻找到整个过程中或过程发生前后存在着的不变关系或不变的量，则成为研究这一变化的过程的中心和关键.这就是物理学中最常用到的一种思维方法——守恒法.

●难点磁场

1.（★★★★★）(2000年春)相隔一定距离的A、B两球，质量相等，假定它们之间存在恒定的斥力作用.原来两球被按住，处在静止状态.现突然松开两球，同时给A球以速度

v_０，使之沿两球连线射向B球，B球初速为零.若两球间的距离从最小值(两球未接触)到刚恢复到原始值所经历的时间为t_０.求B球在斥力作用下的加速度.

图28-1

2.（★★★★★） (2000年全国)在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”.这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似.两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态.在它们左边有一垂直于

轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度v_０射向B球，如图28-1所示.C与B发生碰撞并立即结成一个整体D.在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变.然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连.过一段时间，突然解除锁定(锁定及解除锁定均无机械能损失).已知A、B、C三球的质量均为m.

(1)求弹簧长度刚被锁定后A球的速度.

(2)求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能.

●案例探究

［例1］（★★★★）已知氘核质量为2.0136 u，中子质量为1.0087 u, He核的质量为3.0150 u.

（1）写出两个氘核聚变成 He的核反应方程.

（2）计算上述核反应中释放的核能.

（3）若两氘核以相等的动能0.35 MeV作对心碰撞即可发生上述核反应，且释放的核能全部转化为机械能，则反应中生成的 He核和中子的动能各是多少？

命题意图：考查考生分析能力及综合应用能力.B级要求.

错解分析：在第（3）问错解表现在不能根据动量与动能间关系，结合动量守恒和能量守恒求得 He和中子动能间的比例关系，导致错解.

解题方法与技巧：（1）应用质量数守恒和核电荷数守恒不难写出核反应方程为： H+ H→ He+ n.

（2）由题给条件可求出质量亏损为：

Δm=2.0136×2-(3.0150+1.0087)u=0.0035 u

∴释放的核能为

ΔE=Δmc²=931.5×0.0035 MeV=3.26 MeV.

（3）因为该反应中释放的核能全部转化为机械能--即转化为 He核和中子的动能.若设 He核和中子的质量分别为m₁、m₂，速度分别为v₁、v₂,则由动量守恒及能的转化和守恒定律，得

m₁v₁-m₂v₂=0

E_k1+E_k2=2E_k0+ΔE

解方程组，可得：

E_k1=  (2E_k0+ΔE)= ×(2×0.35+3.26) MeV=0.99 MeV

E_k2=  (2E_k0+ΔE)= ×(2×0.35+3.26) MeV=2.97 MeV.

图28-2

［例2］（★★★★）如图28-2所示，金属杆a在离地h高处从静止开始沿弧形轨道下滑，导轨平行的水平部分有竖直向上的匀强磁场B，水平部分导轨上原来放有一金属杆b.已知杆的质量为m_a，且与b杆的质量比为m_a∶m_b=3∶４，水平导轨足够长，不计摩擦，求：

（1）a和b的最终速度分别是多大？

（2）整个过程中回路释放的电能是多少？

（3）若已知a、b杆的电阻之比R_a∶R_b=3∶4，其余电阻不计，整个过程中a、b上产生的热量分别是多少？

命题意图：考查对机械能守恒定律、动量守恒定律及能的转化和守恒定律的理解运用能力及综合分析能力.B级要求.

错解分析：不深入分析整个物理过程的特点，受思维定势影响.套用电磁感应定律及欧姆定律，试图用直流电路特点求解a、b杆上产生的热量，使思路受阻，无法求解.

解题方法与技巧：（1）a下滑h高过程中机械能守恒

m_agh= m_av_a²                                                                               ①

a进入磁场后，回路中产生感应电流，a、b均受安培力作用，a做减速运动，b做加速运动，经一段时间，a、b速度达到相同，之后回路的磁通量不发生变化，感应电流为0，二者匀速运动，其速度即为a、b共同的最终速度，设为v.由过程中a、b系统所受合外力为0，动量守恒：

m_av_a=(m_a+m_b)v                                                     ②

由①②解得v_a=v_b=  

（2）由能量守恒知，回路中产生的电能等于a、b系统机械能的损失，所以

ΔE=m_agh-  (m_a+m_b)v_a²= m_agh

（3）回路中产生的热量Q_a+Q_b=ΔE，在回路中产生电能的过程中，虽然电流不恒定，但通过a、b的电流总相等，所以有：

= = ,

即 =  得：Q_a=  E= m_agh

Q_b= E= m_agh

●锦囊妙计

一、高考命题走势

人们在认识客观世界的过程中积累了大量的经验，总结出许多守恒定律.建立在守恒定律之下的具体的解题方法——守恒法可分为：动量守恒法，能量转化与守恒法，机械能守恒法，电荷守恒法及质量守恒法等.动量守恒和能量守恒定律是物理学中普遍适用的定律之一，是物理教材的知识主干，也是历年高考各种题型正面考查或侧面渗透的重点，且常见于高考压轴题中.例如2000年全国春考5、11、14、23、24题；2000年全国卷1、5、11、13、21、22题；2000年上海卷3、5、8题及2001年1、3、11题；2002年全国卷15、16题.

二、解题思路

利用守恒定律（包括机械能守恒、能量守恒、动量守恒、电荷守恒、质量守恒）分析解决物理问题的基本思路.

1.明确研究系统及过程.

2.分析相互作用的物体在该过程中所受力情况及做功情况.判定系统的机械能或动量是否守恒.

3.确定其初、末态相对应的物理量.

4.正确选择守恒表达式，列出守恒方程，求解.

注：(1)在利用机械能守恒时，要选取零势面.

(2)在利用动量守恒定律时，要注意“矢量性”“同时性”“统一性”.

●歼灭难点训练

图28-3

1.（★★★★）如图28-3所示，A、B两物体用一根轻弹簧相连，放在光滑水平地面上，已知A物体的质量为B物体的一半.A物体左边有一竖直挡板.现用力向左推B物体，压缩弹簧，外力做功为W；突然撤去外力，B物体将从静止开始向右运动，以后将带动A物体一起做复杂的运动.从A物体开始运动以后的过程中，弹簧的弹性势能的最大值为

A.W                     B.W/2                  C.W/3                  D.无法确定

图28-4

2.（★★★★★）如图28-4所示，A、B是位于桌面上的两个质量相等的小木块，离墙壁的距离分别为L和l，与桌面之间的动摩擦因数分别为μ_Ａ和μ_B，今给A以某一初速度，使之从桌面的右端向左运动，假定A、B之间，B与墙之间的碰撞时间都极短，且碰撞中总动能无损失，若要使木块A最后不从桌面上掉下来，则A的初速度最大不超过多少？

3.（★★★★）某地强风的风速是v=20 m/s，空气的密度是ρ=1.3 kg/m³.如果把通过横截面积为S=20 m²的风的动能全部转化为电能，则计算电功率的公式为P=_______，大小约为_________W（取一位有效数字）.

图28-5

4.（★★★★★）如图28-5所示，重物A、B、C质量相等，A、B用细绳绕过轻小定滑轮连接，开始时A、B静止，滑轮间细绳MN长0.6 m，现将C物体轻轻挂在MN绳的中点，求(1)C物体下落多大高度时速度最大？(2)C物体下落的最大距离是多大？

5.（★★★★★）如图28-6所示，一个半径为r的铜圆盘可以绕垂直于

图28-6

其盘面的中心轴转动，圆盘所在区域内有方向垂直于盘面的磁感应强度为B的匀强磁场，盘的边缘缠绕着一根长线，线的一端挂着质量为m的物体A.电阻R的一端与盘的中心相连接，另一端通过滑片与盘的边缘保持良好接触，不计铜盘的电阻，不计摩擦.现由静止释放物体A，铜盘也由静止开始转动，试求铜盘转动时角速度所能达到的最大值.

6.（★★★★★）如图28-7所示，U=10 V，电阻R₁=3 Ω，R₂=2 Ω，R₃=5 Ω，电容器的电容C₁=4 μF，C₂=1 μF，求：

（1）当S闭合时间足够长时，C₁和C₂所带的电量各是多少？

（2）然后把S断开，S断开后通过R₂的电量是多少？

难点28 守恒思想在物理解题中的应用

［难点磁场］

1. ,与v₀方向相同 2.（1） v₀ (2)  mv₀²

［歼灭难点训练］

1.C

2.v₀≤

3.P= ρSv³;10⁵

4.（1）h=0.7 m （2）H=0.4 m

5.A下落的过程中机械能减少，电能增加，最后又消耗在R上转化为内能.当铜盘角速度最大时，A物体匀速下降.根据能的转化和守恒定律可得：重力的功率等于R发热的功率.

mgv=                                                            ①

E=Br²v= Br²ω                                                ②

解①②得铜盘的最大角速度为ω=4mgR/B²r³

6.解析：（1）S闭合足够长时间后，电路达到稳定，R₃两端电压为0.

所以：U_C1=U_R2= U= ×10　V=4 V

Q₁=C₁U_C1=4×10^－６×4 C=1.6×10^－５C

U_C2=U=10 V

Q₂=C₂U_C2=1×10^－６×10C=1×10^－５C

（2）S断开后，C₁、C₂将通过R₁、R₂、R₃放电，至放电结束，通过R₂的电量

Q=Q₁+Q₂=1.6×10^－５＋1×10^－５C=2.6×10^－５C

图28-7